1、引言
在汽車結構CAE分析中，模態分析、頻響分析和隨機響應分析都是常見的分析項，這些分析項在主機廠都是被劃分到NVH領域，而NVH工程師主要關心的是加速度和位移響應，不太關心應力。所以文獻資料中對模態應力、頻響應力、和PSD應力的介紹非常少。
近幾年來，基于道路譜的整車結構疲勞分析已經開始從準靜態多通道法轉換到模態瞬態響應法，頻域內的強度和疲勞分析也已大量應用。實施這些動態的強度疲勞分析必然要涉及到上述三種應力，所以我們有必要對模態應力、頻響應力和PSD應力的概念做一些討論。
2、模態分析和模態應力
我們通常說的模態指的是結構的實模態，其物理含義是，在沒有外界激勵和阻尼的條件下，結構自身按特定頻率和特定的變形模式做簡諧振動，這個特寫頻率就是結構的固有頻率，這種變形模式就叫做模態振型。
通過求解振動特征方程，可以得到特征值與特征向量，即可得到相應的固有頻率與模態振型。固有頻率和模態振型是結構固有的一種屬性，它只與結構的形狀、約束形式、材料特性等有關，而與其他輸入（例如加載）無關。
模態振型是一種結構變形模式，這種變形所對應的應力分布就叫做模態應力。進行模態分析時，如果打開應力結果輸出選項，對應每一階固有頻率，就有對應的模態應力結果輸出。模態應力是相對應力，和模態振型的相對概念是一樣的，它只表征結構各點應力的比例關系，其絕對數值并無意義。
模態振型和模態應力的一些特征如下：
2.1 模態振型通過駐波描述，而這些駐波的節點位置是固定的，節點處的位移始終為0,但模態應力通常不為0。
2.2 結構上所有點在同一時刻，其位移分量和應力分量達到****值或最小值。
2.3 結構上所有點同一時刻通過零點位置，該時刻結構的位移和應力處處為0。
2.4 結構上所有的點，各位移分量和應力分量要么完全同相位，要么完全反相位。
2.5無阻尼情況下計算得到的模態振型和模態應力與比例阻尼情況下的模態振型和模態應力相同。
3、頻響分析和頻響應力
頻率響應分析（簡稱頻響分析）用于計算結構在正弦周期載荷作用下對每一個計算頻率點的動態響應。在頻率響應分析中，激勵載荷是在頻域中明確定義的，載荷在每一個指定的頻率上都是已知的。計算的響應結果為以實部和虛部形式表示的復數，或由幅值和相位形式定義。
頻率響應分析有兩類不同的數值方法可供選擇，即直接法和模態法。
直接法頻率響應分析通過求解整個模型的阻尼耦合方程，得出結構在一個穩定的正弦周期外力作用下的響應。結構可以具有粘性阻尼和結構阻尼，結果可輸出復位移、速度、加速度、約束力、單元力和單元應力等。
模態法頻率響應分析將結構矩陣用忽略阻尼的實特征值分析進行了壓縮，然后用模態坐標建立廣義剛度和質量矩陣。該分析的結果輸出類型與直接法相同。
在頻響分析中，如果我們設置單位正弦激勵，針對某個頻段上的多個頻率點計算響應，其響應結果就叫做頻響函數（以激勵頻率為橫坐標）。這個單位正弦激勵可以是力、力矩或壓力，也可以是位移、速度或者加速度。激勵的單位也不局限于國際單位制，比如單位加速度激勵，可以用1.0m/s2的加速度，也可以用1.0g的加速度，當然最后計算得出的頻響函數的含義也不相同。
頻響函數表征了線性系統在給定頻率下的穩態輸出與輸入的關系。這個關系具體是指輸出輸入的幅值之比與激勵頻率的函數關系，和輸出輸入的相位差與激勵頻率的函數關系。這兩個關系稱為線性系統的頻響特性。頻率響應函數是復函數，可分解為幅頻特性曲線和相頻特性曲線分別研究。
如果我們研究的系統響應為結構應力，則此時的頻響函數叫做應力頻響函數，也叫作頻響應力。頻響應力表征的是單位正弦激勵下的應力張量響應，它包含了各應力分量的頻率響應曲線。通常我們更關心這些應力分量的合成效果，即Von Mises應力的頻響曲線。頻響應力曲線的峰值點一般是對應著結構的某階固有頻率。
圖1展示了某電池包分別承受X、Y和Z向加速度激勵時，殼體上某點的Von Mises應力頻響曲線。
圖1 結構上某點von Mises應力的頻響曲線
在計算頻響應力時，應設置符合實際情況的阻尼。如果沒有具體試驗測試數據，對于汽車車身結構而言，建議模態阻尼（臨界阻尼系數，即Nastran中CRIT形式）設置為0.02。
需要注意的是，由于阻尼的存在，結構各點的頻響應力可能相位不同，甚至同一點的各應力分量的頻率響應函數也可能相位不同，這點與模態應力有很大差異。
計算頻響應力時，頻率點的間隔需要仔細斟酌，如果頻率點取得太稀疏，那么很可能漏掉應力頻響曲線的峰值點，導致后續強度和疲勞分析的結果過于激進。頻率點如果取得太密集，固然可以提升分析精度，但在每一個頻率點都輸出結構的全場應力，我們將得到一個龐大的頻響應力結果文件，很可能導致強度和疲勞分析軟件無法處理。比較好的方案是在結構的各階固有頻率附近采用密集的頻率點，在各階固有頻率之間采用稀疏分布的頻率點。
圖2和圖3分別展示了使用Nastran和Abaqus計算頻響應力的頭文件，結構所受的載荷為加速度激勵。
圖2 計算頻響應力的Nastran頭文件
圖3 計算頻響應力的Abaqus頭文件
采用模態法計算結構頻響應力，首先將結構動力學方程進行模態解耦，然后針對解耦的各單自由度系統求得模態坐標的頻響函數，
其中Hi(ω)為第i階模態坐標的頻率響應函數，Pi、mi、bi和ki分別為第i階模態力、模態質量、模態阻尼和模態剛度。
頻響應力則由各階模態坐標的頻響函數和對應的模態應力相乘疊加得到，
其中Hσ(ω)為頻響應力，σi為第i階模態應力。
按照這個思路，我們可以不直接計算輸出頻響應力結果，而是先通過一個實模態分析輸出各階模態應力σi，這個結果文件的大小取決于模態分解的階數；再通過一個模態法頻響分析輸出各階模態坐標的頻響函數Hi(ω)，這個結果文件只包含了一些單自由度系統的頻響曲線，所以其大小通常不過幾兆字節。在進行后續強度或疲勞分析時，頻響應力再利用公式（2）得出。
這樣做的好處是，我們即使將頻率點設置的非常密集，模態坐標頻響函數結果文件也只會增大幾兆字節，模態應力結果文件的大小則不會改變。從而在控制結果文件大小的同時，避免了遺漏頻響應力曲線上的峰值點，特別適合模型規模大且激勵頻帶很寬的情況。
4、隨機響應分析與PSD應力
隨機響應分析用于計算結構在隨機激勵載荷作用下的響應。隨機激勵載荷是頻域信號表征的，通常采用功率譜密度函數（PSD）表示。隨機激勵下的響應是統計意義下描述的響應，在任何瞬時響應具體大小未知，但其大小的概率可以給出。
隨機響應分析通常是作為頻率響應分析的后處理。首先施加單位正弦激勵，得到頻響函數，然后根據用戶給定的載荷條件（形式為各載荷的自功率譜密度和互功率譜密度）。輸出為響應的功率譜密度、響應的自相關函數或響應的均方值，其中應力響應的功率譜密度我們簡稱為PSD應力。
與頻響函數一樣，響應的PSD也是以頻率為橫坐標的函數，但PSD是正的實函數，并沒有相位的概念。
一個線性系統，承受平穩隨機激勵載荷x(t)，其PSD為Sx(ω)，響應信號為y(t)，其PSD為Sy(ω)，則可按下式計算y(t)的功率譜密度，
其中H(ω)為載荷x(t)所對應的頻響函數。
如果有多個隨機載荷信號x1(t),x2(t),…,xN(t)共同作用，則
其中Sxr,xs(ω)當r≠s時，為載荷xr(t)和xs(t)的互功率譜密度函數（CPSD）；當r=s時，為載荷xr(t)的功率譜密度函數。
對于互不相關的多個載荷信號，其互功率譜密度全部為零，則
所以，只要有各載荷的頻響函數Hr(ω)，我們就可以根據激勵載荷的PSD矩陣來求得結構上各點的PSD應力。圖4展示了一個卡車車身的載荷PSD矩陣，，共有12個載荷通道，構成12*12的PSD矩陣，其中對角項為各載荷的自功率譜密度函數，非對角項為互功率譜密度函數。
圖4 隨機激勵載荷的PSD矩陣
PSD應力表征的是隨機激勵下的應力張量響應，它包含了各應力分量的PSD曲線。得到PSD應力后，再依據某些頻域疲勞失效模型，例如Dirlik算法、Lalanne算法或Steinberg算法等，就可以得到應力幅值區間的概率分布，進而得到疲勞壽命或者損傷值。
5、隨機激勵下Von Mises應力的有效值
對于平穩隨機過程，響應信號的均方根值，即有效值（RMS），可以由其PSD在頻域內積分得到，即
這是功率譜密度函數Sy(ω)最重要的一個特性，即功率譜密度曲線下的面積就是平穩隨機過程y(t)的功率E(y2)，即均方值，如圖5。功率E(y2)開平方后就是y(t)的有效值。
圖5 功率譜密度曲線與均方值
所以只要我們通過隨機響應分析計算得到PSD應力后，各應力分量的均方根值都可以用上式得到。
我們通常不太關心各應力分量的均方根，而是關心Von Mises應力的均方根。對于汽車上的鈑金結構，有一種估算疲勞壽命的簡單方法：如果隨機載荷引起的結構上各點Von Mises應力的均方根值小于材料拉伸極限的20%，基本可以認為能達到無限疲勞壽命。
引用.汽車測試網 https://www.auto-testing.net/news/show-99799.html
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